Математики установили рекорд по плотной упаковке тетраэдров

Математики из Принстона при помощи компьютерного моделирования смогли построить наиболее плотную упаковку тетраэдров в замкнутом трехмерном объеме из известных на сегодняшний день. Статья исследователей появилась в журнале Nature, а ее краткое изложение приводится в пресс-релизе на сайте университета.
Задача о плотной упаковке является одной из классических задач математики, которая применяется, например, в теории устойчивых к ошибкам алгоритмов. В самом простом варианте она формулируется так: ограниченный объем надо заполнить заданным набором фигур так, чтобы отношение суммарного объема фигур к исходному объему было максимальным (это отношение называется плотностью упаковки). Данная задача встречается в реальной жизни достаточно часто, например, если необходимо упаковать чемодан так, чтобы туда влезло как можно больше вещей.

Для случая плотной упаковки шаров эта задача, известная как гипотеза Кеплера, считается решенной еще в 1998 году при помощи компьютера (суммарный объем доказательства - шесть статей по несколько сотен страниц страниц и 3 гигабайта данных и программ). Фактически данная задача позволяет описать способ наиболее эффективной упаковки, например, апельсинов в обычный ящик.

В рамках нового исследования ученых интересовала плотная упаковка правильных многогранников. Всего существует пять видов подобных фигур: тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр. Используя компьютерное моделирование, ученые добились того, что плотность упаковки самых простых правильных многогранников - тетраэдров, составила 0,782. Предыдущий рекорд составлял 0,778 и был установлен в 2006 году также в Принстонском университете.

Кроме этого ученым удалось доказать, что плотная упаковка тетраэдров обладает тем свойством, что грани многогранников соприкасаются. Для других правильных фигур это не так. Ученым удалось выяснить, что причина этой особенности заключается в отсутствии у тетраэдра центральной симметрии.