Вычислены все конгруэнтные числа до триллиона

Сформулированная более тысячи лет назад математическая проблема теперь обрела решение. Математики из США, Европы, Австралии и Южной Америки составили полный список конгруэнтных чисел (Congruent number), лежащих в диапазоне от нуля до одного триллиона. Полученная учёными последовательность столь велика, что если этот ряд цифр записать от руки в строчку, он протянется до Луны и обратно.

Рукопись ал-Караджи под названием "Книга об алгебре и алмукабале, известная как ал-Фахри" (иллюстрация AIM).

Сама задача заключается в вычислении натурального числа, способного составлять площадь прямоугольного треугольника, стороны которого представлены выраженными рациональными числами. Значение площади такого треугольника и называется конгруэнтным. Наименьшее известное конгруэнтное число — 5 (длины сторон соответствующего ему треугольника – 3/2, 20/3 и 41/6). Потом следуют 6, 7, 13, 14, 15, 20 и так далее.

Существует простое правило: если число s конгруэнтно, то конгруэнтным будет и число s?n², где n — натуральное. Таким образом, основная сложность здесь – это именно поиск новых конгруэнтных чисел, свободных от квадратов.

Площадь прямоугольного треугольника со сторонами 3-4-5 равна 6, следовательно, 6 – конгруэнтное число (иллюстрация AIM).

Древний математический вопрос удалось решить благодаря возможностям современной техники. "Старые задачи наподобие этой могут казаться чем-то неясным, – говорит Брайан Конри (Brian Conrey), директор опубликовавшего исследование Американского математического института (AIM). – Однако они порождают много новых интересных исследований, когда люди изобретают новые способы получения интересующего их ответа".

Для того чтобы обеспечить точность результатов, учёные одновременно проводили вычисления на двух мощных компьютерах, используя разные алгоритмы. Объём оперативной памяти в обоих случаях составлял 128 Гб. Этого оказалось недостаточно для оперирования получавшимися в процессе гигантскими числами, и специалистам пришлось активно использовать дисковую подсистему.

В результате учёные составили список из 3 148 379 694 конгруэнтных чисел, наибольшее из которых не превышает триллиона. По некоторым оценкам, в промежутке от триллиона до квадриллиона (10¹⁵) должно содержаться ещё около 800 миллиардов конгруэнтных чисел. В ближайшее время проверить это не получится по понятным техническим ограничениям.

Считается, что одним из первых конгруэнтными числами заинтересовался персидский математик X века ал-Караджи (Al-Karaji). В его вычислениях треугольники не фигурировали вовсе, а расчёты базировались в основном на квадратах чисел – как целых (1, 4, 9), так и рациональных (25/9, 49/100).

В 1225 году великий Фибоначчи (Fibonacci) установил, что числа 5 и 7 конгруэнтны, и предположил, что число 1, напротив, таковым не является. Только в 1659-м это утверждение было доказано Пьером Ферма (Pierre de Fermat). К 1915 году все конгруэнтные числа в пределах 100 были найдены. Однако чтобы подчеркнуть значение нынешнего открытия, следует отметить, что даже в пределах 1000 некоторые неясности сохранялись ещё в 1980 году!

Авторы работы также полагались в своих расчётах на так называемый критерий Таннела. В 1982 году американский математик Джерольд Таннел (Jerrold Tunnell) совершил значительный прорыв, связав конгруэнтные числа с эллиптическими кривыми (Elliptic curve), другим хорошо изученным математическим феноменом.

Строго доказать истинность самого критерия, однако, никому пока не удалось. Возможное доказательство тесно связано с одной из открытых проблем современной математики — гипотезой Бёрча и Свиннертон-Дайера (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture), за решение которой назначена награда в миллион долларов.